Hallo,
und willkommen  
 
hab mich nochmal genauer mit der Aufschrift befasst - das Barometer kann vom Club Alpino sein - oder auch nicht. Denn: die Abkürzung 'Provv.re' kommt vermutlich von provvedere - versorgen 
[Gäste sehen keine Links] oder sogar provveditore - das ist eigentlich ein Verwaltungstitel, daher war ich mir dabei nicht sicher, bis ich das da auftat 
[Gäste sehen keine Links]   (Bilder durchsehen)  oder hier in ganz groß 
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Denke eher, dass das Unternehmen damit quasi wirbt, den CAI 
[Gäste sehen keine Links] zu beliefern - ähnlich wie früher so die 'Hoflieferanten'. 
Dass die Nummer  eine zwecks Inventar sein könnte, ja möglich oder wahrscheinlich, aber - ?? Nur eben nicht zwangsläufig eine des Alpenvereins selbst, kann auch einem Mitglied oder Bergsteiger allgemein gehört   haben.
Zu Deiner Frage nach dem Alter - auch wenn man Gerätschaften und Instrumente des Unternehmens auffinden kann, auch in Museen oder Sammlungen - zur Geschichte der C.ia, der Compagnia, hab ich bisher nur ein kleines, wenn auch recht aussagekräftiges Schnipselchen gefunden - S. 20 rechts oben 
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Übersetzung von mir, aber ohne Gewähr   
 
" BARDELLI Felice - F. Bardelli & C. (1849 - 1910) -  Turin, ab 1877 ca.. Nachfolger von Giacomo Gioja 1878 in der Leitung einer Fabrik von Optik und Mechanik an der Ecke Via Roma und Galleria Natta, das Werk aktiv bis ca. 1910. Vertreten auf der Turiner Ausstellung von 1884, in Venedig 1891; von Palermo, Paris, Rom und Mailand 1892. Nahmen teil an der Ausstellung Alpenfotografie in Turin 1893 mit Kameras für Bergsteiger und Zubehör für die Fotografie. "
Ausstellungskatalog Turin 1884 S. 37 + S. 49  PDF 
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Aber auch: in diesem Ausstellungskatalog Turin, 1911 
[Gäste sehen keine Links]  auf S. 27 PDF ist noch ein Inserat  von Bardelli zu sehen
Hübsch dazu dann das - ein Katalog von 1903 
[Gäste sehen keine Links] - untendrunter aufgeführt die ganzen Instrumente, die geführt wurden 
Man findet auch eine ganze Reihe von Instrumenten, die anderweitig (vor allem England) herstammen und entweder direkt für Bardelli  hergestellt wurden oder zumindest von denen vertrieben wurden vgl. z.B. 
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Und damit auch zu dem PHBN im Kreis - das steht für 
Pertuis,
 Hulot, 
Bourgeois und 
Naudet  und führt zum eigentlichen Hersteller: Naudet, Paris. Dazu ein älterer Beitrag hier 
viewtopic.php?t=2974
oder auch 
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Da Naudet aber demnach bereits Mitte 1906 verkauft/umbenannt wird, grenzt das das Alter Deines Barometers nun nach oben noch genauer ab.
Zum Barometer selber dann noch: es steht eben auch drauf 'barometro olosterico' - ein Holosterik- oder Federbarometer, soweit ich das noch erinnere; gibt je nach verwendeter Technik zwei Typen, die auf Vakuum beruhen und nicht auf Quecksilber. (korrigiere mich bitte wer, der es besser weiß, falls ich Quark schreibe).
Schaut man sich die Skalierung an, diente es wohl auch nicht der Wetterbeobachtung wie dieses da 
[Gäste sehen keine Links] - sondern zur barometrischen Höhenmessung, d.h. auf verschiedenen Höhen herrscht ja unterschiedlicher Luftdruck und mit der Temperatur dazu genommen kann man die  dann ausrechnen ( sehr vereinfacht gesagt). Also ein Instrument fürs 'Bergvölkchen' - Wanderer, Alpinisten, Skifahrer - aber auch für Expeditionen, Kartographen, Vermessung etc.   
 
Von einer Wertfindung möchte ich absehen - kann fast keine Taschenbarometer in der Art mit Verkaufserlösen überhaupt auftreiben; das meiste ist Wetter, maritim oder  anderswie. 
Und: mir ist noch nicht ganz klar, woraus das Gehäuse besteht - Messing vermutlich, aber es gibt auch solche vergoldet (gibt es noch irgendwo ganz kleine Zeichen oder Zahlen irgendwo? ) - hier mal auf einer Händlerseite (mit dementsprechenden Preisideen) 
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noch so ähnlich 
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Aber mit dem (guten)  Herstellernamen Naudet und den anderen Angaben kannst Du ja vielleicht nun auch selber noch weiter recherchieren  
 
Gruß
nux
PS - schwere Kost  
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